Archimede, l’arte della misura di Marco Andreatta

Il nome di Archimede evoca nell’immaginario collettivo l’appellativo di Genio, come accade per Einstein, Newton, Gauss, Euler, Poincaré e tanti altri che popolano l’empireo delle menti degli uomini eccezionali.
Del grande siracusano tutti (o quasi) conosciamo la fine, per mano di un milite dell’esercito del console romano Marcello quando nel 212 a.C., dopo quasi due anni d’assedio, riuscì a conquistare Siracusa, rea d’essersi alleata con la nemica Cartagine.
Le sue scoperte hanno illuminato lo sviluppo del pensiero scientifico, e i risultati nel campo della Meccanica e della Matematica sono stati esempi di quanta invenzione e creatività possa essere dotata la mente di un uomo. Non a caso Voltaire scrisse (con grande stupore di molti) che:

Vi era molta più immaginazione nella testa di Archimede che in quella d’Omero.

Proprio su Archimede, qualche anno fa, il Professor Marco Andreatta (Ordinario di Geometria all’Università di Trento) ci ha regalato una perla con il suo libro Archimede, l’arte della misura, facendo campeggiare sulla copertina una delle formule più note dovute allo scienziato siracusano, quella dell’area della superficie della sfera. La collana de Il Mulino che ha pubblicato il libro si intitola Formule per leggere il mondo, e nessuna scelta poteva essere più appropriata, dovendo trattare di Archimede, di quella formula che si trova nell’opera Sulla sfera e il cilindro.
Perché il cilindro? Perché esso fa parte del metodo usato da Archimede per raggiungere il suo risultato. Egli, come ci racconta l’Autore, per calcolare la superficie della sfera, suggerisce di confrontarla con il suo cilindro circoscritto, ed è proprio questo il colpo di genio di Archimede: commensurare la superficie della sfera mediante una superficie più semplice, cioè quella del cilindro.

Scrive Andreatta:

Al di là del risultato in sé, rappresentato dalla formula che dà il titolo al libro, la genialità del matematico siracusano sta proprio nel metodo da lui usato, che consiste nel commensurare, anche con strumenti meccanici, quantità di oggetti complessi con quelle di oggetti più semplici.

A questo metodo archimedeo è dedicato il secondo capitolo, in cui viene chiarito che esso è in realtà un metodo meccanico, inventato dal nostro Matematico, il quale, volendo misurare ad esempio, l’area di un oggetto dello spazio la confronta con quella già nota di un altro oggetto, semplicemente pesando i due oggetti mentalmente con una bilancia a leva, di cui lo stesso Archimede aveva scoperto le leggi.

Nel terzo capitolo si entra nel vivo dell’opera di Archimede sulla misura del cerchio e della sfera, con calcoli che il lettore potrà seguire agevolmente nell’esposizione molto chiara dell’Autore, che procede in un intreccio coinvolgente tra formule e storia della Matematica, come, per esempio, sul metodo di esaustione usato dal siracusano e sulla misura della misteriosa costante numerica che viene chiamata Pi greco.
Ma la storia continua nei capitoli successivi, fino al sesto, per farci comprendere come il metodo usato da Archimede per il calcolo della sfera viene ripreso da Galilei per determinare il volume della sua scodella, collegandolo a quello di un cilindro e di un cono.

Da Galilei passiamo all’opera del grande Gauss, anch’egli attratto dalle formule sulla sfera, e a una sua ingegnosa generalizzazione estremamente utile in ambiti scientifici e tecnici. Parliamo del suo bel Teorema Egregium, che già avevamo incontrato nel libro precedente dell’Autore, La forma delle cose. L’alfabeto della geometria, uno dei libri più seducenti della divulgazione matematica.
Ma il risultato di Gauss, come ci informa l’Autore, va ben oltre la semplice generalizzazione, perché spiana la via alla geometria intrinseca di una superficie nello spazio, e ad altre geometrie diverse da quella euclidea, le cosiddette geometrie non euclidee, come furono chiamate dallo stesso Gauss, il Princeps Mathematicorum.

Nel sesto e ultimo capitolo l’Autore ci fa esplorare altri mondi legati alla sfera, con astrazioni matematiche sempre più ardite che conducono a spazi a più dimensioni in cui trova la sua ragione d’essere la cosiddetta ipersfera. Giungiamo così al concetto di varietà 4-dimensionale, spazio-temporale, con la quale il genio visionario di Einstein formula nel 1915 la sua teoria della relatività, che potremmo ben definire l’apoteosi del pensiero umano.

Questo, in estrema sintesi, il contenuto del libro del Professor Andreatta, ma è solo dalla sua attenta lettura che se ne potrà trarre il maggior beneficio, perché esso soddisfa non solo la conoscenza scientifica ma anche quella più ampia, data dalla fusione di tutti gli interessi culturali dell’Autore, per cui, ad esempio, si è deliziati quando egli ci ricorda l’interpretazione data dal matematico Andreas Speiser della descrizione dantesca dell’Universo come una 3-sfera, ovvero come uno spazio tridimensionale curvo, non euclideo, finito benché illimitato. Così la Matematica dà forma anche all’alta Poesia e la lettura termina con un senso di meraviglia.