Minimo comune multiplo: cos’è e come si calcola

La matematica non è una delle materie preferite di molti, ma i suoi fondamenti sono una base importante: il minimo comune multiplo non è che un esempio, come la media ponderata e altri argomenti che sicuramente avete incontrato in passato.

Vediamo allora cos’è e come si calcola, evitando brutte figure o eventuali voti bassi se siete ancora tra coloro che frequentano i banchi di scuola.

Nel percorso di studi di ognuno di noi ci sono sempre argomenti propedeutici, ovvero temi e cose da sapere per essere preparati e affrontare ciò che viene dopo. Niente panico, con un po’ di attenzione in più anche la matematica apparirà più semplice di ciò che pensate.

Cos’è il minimo comune multiplo

Quando sentite pronunciare minimo comune multiplo, siete in presenza di due o più numeri interi positivi. Se sono due o più di due poco importa: per minimo comune multiplo (m.c.m.) si intende il più piccolo tra i multipli che hanno in comune ossia il numero più piccolo divisibile per ognuno di essi, nessuno escluso.

Il suo utilizzo è legato spesso alla necessità di dover stabilire un denominatore comune in caso di operazioni tra frazioni di diverso denominatore.
Come fare se devo sommare 1/3 (un terzo) + 1/2 (un mezzo) + 1/5 (un quinto)?

Nel caso in cui ci si trovi davanti la somma di due o più frazioni, va calcolato il denominatore comune, che coincide proprio con il minimo comune multiplo dei singoli denominatori.

Iniziamo scoprendo come si calcola e procediamo esercitandoci quel tanto che basta per prenderci un po’ la mano.

Come si calcola il minimo comune multiplo

L’esempio che troverete sotto vi aiuterà a capire velocemente come si calcola il minimo comune multiplo. Non è poi così difficile, l’importante è conoscere le regole da seguire.

Proviamo a calcolare il minimo comune multiplo tra 15, 20 e 30.

• Il primo passaggio è quello di scomporre i numeri in fattori primi, ossia nei numeri primi che lo compongono. Nel nostro caso specifico avremo:

15=5×3

20=2x2x5

30=2x5x3

• Fatto questo, si procede considerando solo i numeri detti fattori, ovvero i numeri che sono moltiplicati tra loro e che si trovano a destra del segno uguale.
  Un esercizio molto utile a tale proposito può essere quello di cerchiare i fattori che contribuiscono al calcolo del minimo comune multiplo.

Vi state chiedendo quali fattori dovremmo cerchiare nel nostro caso? Ecco cosa ci dice la regola:

• ogni fattore va cerchiato una sola volta, quindi cerchieremo una volta il 3 e una volta il 5
• in presenza di due fattori uguali dobbiamo scegliere quello con il grado massimo – quindi tra un fattore al quadrato e lo stesso fattore non al quadrato si sceglie quello con la potenza più alta. Nel nostro caso quindi sceglieremo 4 (corrispondente a 2 al quadrato) e non il 2
• Il minimo comune multiplo si ottiene moltiplicando tutti i numeri cerchiati

Nel nostro caso quindi il minimo comune multiplo tra i numeri 15 20 e 30 è dato da 3x5x4= 60 che infatti è il più piccolo numero divisibile sia per 15 che per 20 che per 30.

Il minimo comune multiplo come denominatore comune

Torniamo al nostro esempio con le frazioni.
Come fare se devo sommare 1/3 (un terzo) + 1/2 (un mezzo) + 1/5 (un quinto)?

Calcoliamo il minimo comune multiplo che corrisponde in questo caso a 3x2x5=30

Il minimo comune multiplo 30 sarà il denominatore comune di tutte le frazioni che ci permetterà di rendere i suoi numeratori "sommabili". Per trasformare le frazioni con il nuovo denominatore, andiamo a dividere 30 per i singoli denominatori e moltiplichiamo il risultato per il numeratore per ottenere il nuovo numeratore.

Frazione originale	Moltiplicatore	Nuovo numeratore	Nuova Frazione con denominatore comune
1/3	30/3=10	10x1=10	10/30
1/2	30/2=15	15x1=15	15/30
1/5	30/5=6	6x1=6	6/30

a questo punto possiamo sommare le frazioni tra loro avendo lo stesso denominatore

10/30 + 15/30 + 6/30 = 31/30

Minimo comune multiplo: la differenza con il Massimo Comun Divisore

A volte ci si confonde nelle definizioni (e quindi nei calcoli) di minimo comune multiplo (m.c.m.) e Massimo Comun Divisore (MCD). Il Massimo Comun Divisore tra due o più numeri corrisponde al più grande dei divisori che hanno in comune.
Se nel calcolo del m.c.m. si scomponeva in fattori primi prendendoli tutti e considerando quelli con potenza maggiore (laddove ce ne fossero con diversi esponenti), nel caso del MCD bisogna prendere solo i fattori primi in comune tra tutti, escludendo quelli non inclusi in tutti i numeri, e tenendo in considerazione quelli con l’esponente più piccolo.

Prendendo lo stesso esempio di 15, 20 e 30:

15=5×3

20=2x2x5

30=2x5x3

Il M.C.D. sarà dato da 5 in quanto è il Massimo Comun Divisore di tutti e tre i numeri presi in considerazione.

Facciamo un altro esempio:

80=4x4x5 (ossia 4 alla seconda per 5)
100=4x5x5 (ossia 5 alla seconda per 4)

In questo caso il m.c.m. sarà 16x25=400 mentre il M.C.D. sarà 4x5=20.