Assioma: significato ed esempi

Nel parlare comune ricorre, talvolta, la parola assioma, il cui significato si comprende meglio guardando all’uso che di questo vocabolo fanno discipline come la matematica, la filosofia e la logica.
Quando utilizziamo il termine assioma, infatti, viene facilmente alla mente Euclide, il padre della geometria occidentale, ma anche Aristotele e modelli di ragionamento come la deduzione.
Proprio per questo sarà opportuno anche richiamare alcuni esempi di assiomi che ci permetteranno di coglierne meglio il significato e di evidenziare le differenze tra assioma, postulato e principio.

Assioma: etimologia e significato

La parola italiana assioma troverebbe la sua origine nel termine greco ἄξιος (axios) che significa “degno” da cui poi deriverebbe ἀξίωμα -ατος (axioma – axiomatos); da essa, poi, seguirebbe il latino axioma – axiomătis. Il termine indica in italiano una proposizione, o una affermazione, di per sé degna di essere ritenuta vera, la cui verità è autoevidente e che, quindi, si assume per vera in modo altrettanto immediato, senza bisogno di dimostrazioni o ragionamenti.
Proprio perché l’assioma è di per sé evidente, non appena lo si considera e gli si presta attenzione con la mente, il termine viene spesso utilizzato, nell’italiano corrente, come sinonimo di principio. Le verità autoevidenti sono infatti quelle proposizioni dalle quali deve necessariamente cominciare un ragionamento o una argomentazione o, ancora, una dimostrazione.
Spesso, sempre nella lingua comune, la parola assioma viene anche utilizzata come sinonimo di postulato, sebbene ciò sia meno corretto dal momento che c’è una differenza, seppur minima: il postulato, infatti, è una proposizione, una affermazione, di cui si assume la verità, pur non potendola dimostrare. Ciò sarà più chiaro quando considereremo qualche esempio di carattere filosofico.

Gli assiomi nella matematica e nelle scienze naturali

In matematica, almeno per quello che ricordiamo dalle nostre esperienze scolastiche, eravamo abituati a dimostrare dei teoremi. In essi si considerava prima una ipotesi, corrispondente a una proposizione, e poi, attraverso una serie di passaggi e una serie di ragionamenti, si arrivava a dimostrare vera quell’ipotesi che, solo allora, diventava una tesi. Nel corso della dimostrazione e del ragionamento si faceva spesso riferimento ad altri teoremi (già dimostrati) oppure a lemmi (dati preliminari) o, ancora, a corollari (conseguenze).
Ora, ci rendiamo ben conto, che se per dimostrare un teorema ricorriamo a un altro teorema, inneschiamo un regresso che deve necessariamente avere un punto di inizio, altrimenti la matematica, o qualsiasi altra scienza, non si reggerebbe su nulla e sarebbe solo un castello di carte.
Questi punti di inizio sono proprio gli assiomi, proposizioni che sono assunte per vere senza essere dimostrate, perché autoevidenti, o quanto meno ritenute tali. Ogni branca della matematica ha i suoi assiomi, sia essa l’aritmetica (che studia i numeri), la geometria (che studia le figure), la teoria degli insiemi o il calcolo delle probabilità. Tuttavia, in geometria gli assiomi prendono il nome di postulati mentre in fisica gli assiomi sono più comunemente chiamati principi: nelle scienze naturali, quindi, questi tre termini sono sinonimi.
Facciamo qualche esempio per chiarire meglio il discorso e iniziamo proprio dall’aritmetica e dai numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …). Riguardo a questo campo d’indagine fu il matematico italiano Giuseppe Peano a formulare degli assiomi:

• esiste un numero 0 appartenente all’insieme dei numeri naturali (Esiste un numero 0 ∈ N);
• per ogni numero n appartenente all’insieme dei numeri naturali esiste un suo successore (Esiste una funzione S : N → N);
• due numeri diversi hanno successori diversi [x ≠ y implica S (x) ≠ S (y)];
• lo zero non è il successore di alcun numero naturale [S(x) ≠ 0 per ogni x ∈ N]
• tutti i sottoinsiemi dell’insieme dei numeri naturali che contengono lo 0 e il successore di tutti i suoi elementi, coincidono con lo stesso insieme dei numeri naturali [se U è un sottoinsieme di N tale che: 0 ∈ U e x ∈ U implica S (x) ∈ U, allora U = N];

Altrettanto famosi sono i postulati di Euclide, i fondamenti su cui poggia l’unica geometria che l’umanità abbia conosciuto e praticato dall’antichità fino alla fine dell’Ottocento (quando sono state scoperte le cosiddette geometrie non-euclidee):

• per due punti dati passa una e una sola retta;
• una retta finita (segmento) può essere prolungata in modo indefinito (così da diventare una retta infinita);
• dato un punto qualsiasi e una lunghezza qualsiasi è sempre possibile descrivere una circonferenza;
• gli angoli retti sono tutti congruenti (ossia uguali);
• date due rette e una terza retta che le interseca entrambe, se la somma degli angoli formati dalla stessa parte dalla retta secante è minore della somma di due angoli retti, allora le due rette date inizialmente si incontreranno da quella stessa parte.

Gli assiomi in filosofia

In filosofia gli assiomi o principi primi sono quelle proposizioni, vere in modo autoevidente, non appena la mente si appresta a considerarle, che fungono da presupposto o da punto di partenza di ogni ragionamento.
Un esempio molto famoso è il principio di non-contraddizione, compiutamente formulato da Aristotele ma già utilizzato da pensatori precedenti, ad esempio da Parmenide, nelle sue speculazioni sull’essere. Secondo tale principio non è possibile che una cosa sia sé stessa e il suo contrario nello stesso tempo e nello stesso rispetto. Seguendo un’altra formulazione potremmo anche affermare che, secondo il principio di non contraddizione, non è possibile affermare e negare una qualità di un ente, nello stesso tempo e nello stesso rispetto.
Facciamo un esempio per rendere il tutto più chiaro: pensiamo alla giovinezza, posso dire di essere giovane rispetto ai miei genitori, che hanno quasi ottant’anni, ma rispetto ai miei studenti, che hanno quasi diciott’anni, sicuramente non posso affermare che sono giovane. In questo caso è evidente che cambia il rispetto, ossia il termine di paragone rispetto al quale affermiamo o neghiamo una qualità, una caratteristica. Lo stesso vale per il tempo: potrei affermare di essere stato giovane venticinque anni fa, quando ero appena diventato maggiorenne, ma non posso affermare di essere giovane anche oggi.

Altri esempi filosofici di assiomi sono, appunto, gli assiomi dell’intuizione che Kant individua nella Critica della ragion pura: questi sono dei giudizi sintetici a priori che derivano dalle forme a priori dello spazio e del tempo, ed affermano, ad esempio, che tutti i fenomeni che noi intuiamo costituiscono delle quantità estensive, ossia che i fenomeni vengono conosciuti sintetizzando, ossia mettendo insieme, le loro parti.
In filosofia non vale la sinonimia tra assiomi e postulati: sempre Kant, stavolta nella Critica della ragion pratica, deve postulare, ossia deve ammettere la possibilità di quel dio che nella prima critica era inconoscibile e indimostrabile, e dell’immortalità dell’anima, per garantire il raggiungimento del sommo bene, ossia per garantire che gli uomini buoni in questa vita siano anche felici, se non in questa vita almeno nella prossima (ossia nella vita eterna).

Il significato degli assiomi nella logica contemporanea

Nella logica novecentesca, molto diversa da quella dei secoli precedenti, non si considera il contenuto delle proposizioni e la sua evidenza (posso dire che “il tutto è maggiore della parte” è un assioma perché il contenuto di questa frase è autoevidente) ma ci si limita ad affermare che se sono vere le premesse, allora sono vere anche le conclusioni. In questo caso cade, ancora una volta, la distinzione tra assiomi e postulati, e gli assiomi, che si assumono come veri, coincidono con quelle proposizioni che affermano immediatamente, e con evidenza, alcune caratteristiche generali degli enti concreti studiati (tali enti, poi, possono essere insiemi di numeri, classi di proposizioni, ecc.).