Il dilemma del prigioniero: significato e spiegazione

Se avete un certo interesse per i giochi di ragionamento e per discipline si interessano di scelte razionali, come la teoria dei giochi, avrete sentito sicuramente parlare del dilemma del prigioniero.
Presentato non solo nelle lezioni introduttive di teoria dei giochi ma anche in discipline quali la macroeconomia, quando si discute di oligopolio e di formazione di trust e cartelli, il dilemma del prigioniero è un gioco a informazione completa non cooperativo di cui cerchiamo di comprendere la spiegazione e il significato.
Il dilemma del prigioniero venne originariamente formulato dal matematico canadese Albert William Tucker (Oshawa, 28 novembre 1905 – Hightstown, 25 gennaio 1995) che, oltre che di teoria dei giochi, si occupò nella sua vita anche di topologia e di programmazione non lineare ma, ancora oggi, continua a suscitare curiosità negli studiosi di varie discipline che ne hanno derivato riflessioni ulteriori, che chiamano in causa il calcolo delle probabilità e la logica.
Scopriamo allora, insieme, come è stato formulato il dilemma del prigioniero, qual è la sua spiegazione e il suo significato.

Il dilemma del prigioniero: alcune premesse di teoria dei giochi

La teoria dei giochi è una branca della matematica che studia le scelte razionali ovvero il modo in cui gli individui (ma in economia può trattarsi anche di aziende o stati) interagiscono in modo strategico in situazioni potenzialmente conflittuali. Ciò implica che la soluzione di una determinata situazione, ovvero l’esito del gioco, dipenda dalle scelte messe in campo dai singoli individui. Dal momento che ogni giocatore prende le proprie decisioni, e quindi sceglie, tenendo conto anche del comportamento degli altri, si parla di decisioni strategiche.
Nel caso specifico del dilemma del prigioniero si parla di gioco a informazione completa perché ogni giocatore conosce fin dal principio, ossia prima di scegliere, quali sono le conseguenze che avranno sia le sue azioni, sia le decisioni prese dagli altri giocatori.
Non a caso la teoria dei giochi si occupa di scelte razionali, ovvero di scelte che chiamano in causa giocatori che presupponiamo intelligenti e che, quindi, proprio grazie alla facoltà di compiere ragionamenti di una certa complessità, terranno conto, oltre che dell’avversario, anche delle proprie preferenze – che intendono massimizzare – durante tutto il processo decisionale.
Il dilemma del prigioniero è anche un gioco non cooperativo perché i partecipanti non possono stringere accordi preventivi (prima di scegliere) che orientino le rispettive scelte; se avessero la possibilità di farlo si parlerebbe di gioco cooperativo.

Formulazione del dilemma del prigioniero

Immaginiamo che due criminali – chiamiamoli Marco e Anna, con dei nomi di fantasia – commettano un omicidio e vengano poi arrestati da un ispettore che li colloca in due celle diverse, non comunicanti tra loro.
Per comprendere il dilemma del prigioniero dobbiamo premettere anche che l’ispettore sa che sono stati loro, tuttavia non possiede prove stringenti e non ha colto né Marco né Anna in flagranza di reato.
Entrambi, poi, sono accusati anche per dei reati minori per i quali sono presenti delle prove a loro carico che li faranno senz’altro condannare a una pena di entità più lieve, di 2 anni di carcere.
Per decidere dell’omicidio però, è necessario che uno o entrambi i criminali collaborino, così da permettere all’ispettore di stabilire senza ombra di dubbio chi è il colpevole.
Qualora uno dei due criminali confessasse, avrebbe uno sconto di pena che gli farebbe ottenere una pena di 0 anni, ossia un annullamento di pena, a patto però che l’altro criminale decidesse di non collaborare. In questo caso, il secondo dei due criminali sarebbe condannato a 9 anni di carcere.
Se, invece, accadesse che entrambi decidessero di collaborare e di confessare, allora sarebbero condannati entrambi a 5 anni di carcere.
Poste queste premesse e compreso lo scenario in cui ci muoviamo, ammettiamo che il nostro ispettore interroghi entrambi i criminali separatamente e prospetti a ciascuno le condizioni chiarite sopra. Sia Marco che Anna, ora consapevoli delle conseguenze che le loro decisioni possono produrre, per sé stessi ma anche per l’altra o l’altro, dovranno scegliere cosa fare senza sapere come si muoverà l’altra o l’altro.
Nel dilemma del prigioniero si configurano, allora, le seguenti possibilità:

• Marco collabora e Anna collabora → Marco è condannato a 5 anni e Anna a 5 anni;
• Marco collabora e Anna non collabora → Marco è condannato a 0 anni e Anna a 9 anni;
• Marco non collabora e Anna collabora → Marco è condannato a 9 anni e Anna a 0 anni;
• Marco non collabora e Anna non collabora → Marco è condannato a 2 anni e Anna a 2 anni;

Questo ventaglio di alternative può essere schematizzato nella seguente matrice:

Il dilemma del prigioniero: spiegazione e soluzione

A prescindere da quelle che sono le possibili alternative praticabili nel dilemma del prigioniero, cosa faranno davvero Marco e Anna?
Ricordiamo che la loro è una scelta razionale, che quindi dovrà considerare quel che l’altra o l’altro potrebbe fare; che entrambi conoscono a priori le conseguenze a cui andranno incontro; che la loro scelta è definitiva e una volta compiuta non sarà possibile tornare indietro; che non possono in alcun modo comunicare e accordarsi.
Cerchiamo, allora, di capire quali potrebbero essere le considerazioni che svolgerà Marco nella sua mente. Egli potrebbe fare pressappoco questo ragionamento:

• Se Anna decide di collaborare, a me conviene collaborare, così prenderò 5 anni anziché 9;
• Se Anna decide di non collaborare, a me conviene comunque collaborare, dal momento che in questo caso la mia pena sarà annullata;

Se ci mettessimo nei panni Anna comprenderemo facilmente che anche lei farebbe esattamente lo stesso ragionamento.
La strategia o scelta dominante, ovvero la strategia che risulta essere ottimale per un giocatore, a prescindere dalla scelta che farà l’avversario, sarà per entrambi la collaborazione mentre non collaborare sarà la strategia o scelta dominata perché sarà sempre l’alternativa più sconveniente, a prescindere dalle decisioni che prenderà l’avversario.
Svolti questi ragionamenti, allora, sia Marco che Anna confesseranno e ad entrambi verrà comminata una pena di 5 anni.
In questo modo, con le rispettive strategie, Marco e Anna hanno raggiunto una situazione che nella teoria dei giochi prende il nome di equilibrio di Nash (dal matematico Premio Nobel John Nash) ovvero un profilo di strategie (dal momento che si considerano le scelte di entrambi) dove nessun giocatore ha interesse ad essere l’unico a cambiare strategia.
Ora, ciò che è interessante notare, tenendo presente la matrice sopra, è il fatto che il dilemma del prigioniero dia luogo a un paradosso, dal momento che le scelte più razionali conducono a un risultato che, per entrambi i giocatori, produce più danni della scelta alternativa.
La decisione di non collaborare, infatti, se adottata da entrambi i giocatori, farebbe ottenere a ciascuno 2 anni di carcere anziché 5.
Questo profilo di strategie darebbe luogo a quello che nella teoria dei giochi viene chiamato ottimo paretiano (dal nome del matematico italiano Vilfredo Pareto), la condizione complessivamente più efficiente o, se vogliamo, vantaggiosa, dal momento che, in questo caso, la condizione di uno dei due non si può migliorare senza peggiorare la condizione dell’altro.
Sia Marco che Anna però, con i loro ragionamenti, non pervengono all’ottimo paretiano perché questo non è una condizione di equilibrio.
Potremmo anche supporre che Marco e Anna, prima di essere arrestati, si siano vicendevolmente giurati di non collaborare: proprio in questo caso sorgerebbe, allora, il dilemma, dal momento che, una volta isolati e lasciati in balia di loro stessi, le rispettive razionalità gli suggerirebbero di fare esattamente il contrario.
Anche qualora potessero comunicare, quindi, e stringere un accordo, si tratterebbe di un accordo o patto non vincolante (che non produce conseguenze negative), per questo, sapendo che l’avversario non collaborerà, entrambi sarebbero spinti a tradire l’avversario e a collaborare, dal momento che così avrebbero un completo annullamento della pena.

Il significato del dilemma del prigioniero

Sono molte le interpretazioni alle quali il dilemma del prigioniero si presta, in discipline differenti.
Sul piano più squisitamente psicologico, infatti, mette in scena il conflitto tra razionalità individuale ed efficienza ovvero tra la massimizzazione dell’interesse personale e il benessere complessivo o collettivo.
In ambito economico, invece, il dilemma del prigioniero spiega in modo abbastanza convincente perché in un regime oligopolistico spesso non si creino cartelli: anche se sono poche le aziende che possono mettere a disposizione del mercato un bene, spesso non si accorderanno sullo stesso prezzo da praticare, così da mantenere la rispettiva quota di mercato, perché ciascuna azienda sarà afflitta dallo stesso dilemma: le aziende concorrenti manterranno davvero la parola data e praticheranno il prezzo stabilito insieme o, invece, si decideranno per un prezzo più basso che, singolarmente considerate, le renderà più attrattive sullo specifico mercato?
Last but not the least: dobbiamo tener presente che il dilemma del prigioniero venne formulato negli anni Cinquanta del Novecento, in piena guerra fredda e venne, quindi, applicato alle due superpotenze impegnate nella corsa agli armamenti.